Consideremos la siguiente expresión:
AB + B
Aparentemente, esta expresión ya no se puede simplificar. Sin embargo, podemos comprobar (construyendo las Tablas de Verdad) que esta expresión cuya simplificación no es tan obvia, pese a todo, es equivalente a la siguiente expresión:
A + B
La cual es mucho más sencilla. Se hace evidente que hay casos en los cuales el álgebra Booleana no es suficiente. Tenemos pues que recurrir a otras técnicas que la complementen.
Los diagramas de subconjuntos nos proporcionan una manera sencilla de poder visualizar las relaciones que puede haber entre varias variables. Quizá los diagramas más sencillos de todos son los que representan al "1" lógico, el cual podemos representar como un cuadro completamente lleno, y al "0" lógico, el cual podemos representar como un cuadro completamente vacío:
 |
| Representación del "1" y el "0" |
En este tipo de diagramas, no sólo podemos representar el "uno" y el "cero". También podemos representar variables. El diagrama más sencillo de todos es el que utilizamos para representar una sola variable, el cual está dividido en dos partes: una parte "llena" que es la parte en la cual la variable A toma el valor de "1" (a la izquierda, de color azul), y la parte "vacía" que es la parte en la cual la variable A toma el valor de "0" (a la derecha, sin color):
Pero con estos diagramas no sólo podemos representar a la variable. También podemos representar el inverso lógico de la variable, el cual será como se muestra a continuación:
Del mismo modo, podemos representar una segunda variable B y el complemento de la misma de la siguiente manera:
Superponiendo ambas variables en un mismo diagrama, podemos contestar algunas preguntas interesantes como la siguiente: ¿en qué parte del diagrama mixto se encontrará la región en la cual ambas variables A y B se solapan? La respuesta se da a continuación:
A continuación tenemos la región en donde la variable A se solapa con el complemento de la variable B, así como la región en la cual los complementos de ambas variables se solapa:
Hagámonos ahora otra pregunta: ¿cuál sería la región en la cual las variables A y B se unen (en lugar de interceptarse), la porción del diagrama en donde podemos estar ya sea en A ó en B, o sea la región que representaría la suma Booleana A+B de dichas variables? La respuesta se da a continuación:
Y el área que representa la suma Booleana de los complementos de ambas variables es la siguiente:
Por su parte, la expresión Booleana AB+AB que representa la salida de un bloque OR-EXCLUSIVO es la siguiente:
Si queremos superponer en el mismo mapa una tercera variable C, lo podemos hacer de la siguiente manera:
Y si queremos superponer en el mismo mapa una cuarta variable D, lo podemos hacer de la siguiente manera:
El mismo procedimiento constructivo se puede extender hacia una quinta variable e inclusive hacia una sexta variable, aunque la ventaja de visualización se va perdiendo rápidamente encima de las cuatro variables.
Para representar en el mapa una expresión elaborada como (A+B)(C+D):
Primero localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones A y B, o lo que es lo mismo, la suma Booleana de las variables A y B:
Tras lo cual localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones C y D, o lo que es lo mismo, la suma Booleana de las variables C y D:
Después obtenemos un mapa que represente las regiones que ambos mapas de A+B y C+D tengan en común, o sea la región común en la que ambos se interceptan, lo cual equivale a llevar a cabo la operación lógica AND de A+B y de C+D.
Los diagramas de subconjuntos permiten verificar de manera casi inmediata todos los teoremas Booleanos que fueron demostrados en el capítulo anterior. Por ejemplo, el teorema que dice:
A + A = 1
es verificado de la siguiente manera:
Es importante señalar que para los matemáticos puros, esto no constituye una demostración formal, sino una simple verificación de un teorema. Sin embargo, en tanto que nosotros mismos nos podamos convencer visualmente de la veracidad de algún enunciado Booleano mediante este recurso, podemos hacer a un lado el rigor formalista y continuar adelante con la mentalidad típica del ingeniero que busca procedimientos que den resultados comprobados en la práctica.
Con cambios mínimos, los diagramas de subconjuntos nos sirven de base para introducirnos a una de las herramientas de simplificación de circuitos lógicos más populares que hay. Estudiaremos a continuación el siguiente mapa para dos variables boleanas A y B conocido como el mapa de Karnaugh, inventado en 1952 por Edward W. Veitch y refinado posteriormente por Maurice Karnaugh, un ingeniero de telecomunicaciones trabajando para Bell Labs:
Para la construcción de nuestro primer mapa de Karnaugh, utilizaremos el concepto del minterm. Supongamos que deseamos localizar el minterm AB en el mapa de Karnaugh. Estudiando el mapa detenidamente, vemos que podemos representar dicho minterm en el mapa como se muestra a continuación:
De la misma manera, si deseamos representar los minterms AB y A·B en el mapa de Karnaugh, podemos hacerlo de la siguiente manera:
Ahora bien, también podemos representar variables sencillas en el mapa de Karnaugh. Supongamos ahora que deseamos representar B en el mapa de Karnaugh. Esto lo logramos de la siguiente manera:
Estudiamos ahora un hecho de importancia trascendental. Este último mapa de Karnaugh nos indica que B es igual a la suma de los minterms AB y A·B, lo cual podemos comprobar mediante el álgebra Booleana como sigue:
AB + A·B = (A + A)B = (1)B = B
Tenemos aquí nuestra primera indicación sobre cómo podemos usar el mapa de Karnaugh para simplificar circuitos lógicos.
Imaginamos que la salida de un circuito está dada por la siguiente expresión:
Salida = AB + A·B
Podemos describir la salida del circuito en un mapa de Karnaugh de la manera siguiente:
Vemos de inmediato en el mapa cómo los minterms AB y A·B forman dos grupos adyacentes que están cubiertos completamente en el mapa por la variable A. Concluimos, pues, que la salida simplificada del circuito está dada por la siguiente expresión:
Salida = A
La regla general para simplificar un circuito usando el mapa de Karnaugh es examinar el mapa que le corresponde y determinar los agrupamientos más grandes de grupos adyacentes que se pueden describir con el menor número de variables booleanas.
Usando el mapa de Karnaugh, tratemos ahora de simplificar la expresión que encontramos al comienzo de este tutorial:
AB + B
Su mapa de Karnaugh con una simplificación posible tendrá el siguiente aspecto (el "minterm" correspondiente a la variable B está enmarcado dentro de una línea verde cubriendo todo el renglón representativo de B, mientras que el "minterm" AB es puesto antes de los agrupamientos simplificadores en la esquina inferior izquierda) :
Como se puede ver, es posible hacer dos agrupamientos de grupos adyacentes, los cuales están descritos por la expresión:
A + B
que es la expresión simplificada que buscábamos.
Asimismo, el mapa de Karnaugh nos indica cuáles son las expresiones que no se pueden simplificar. Por ejemplo, la siguiente expresión:
AB + AB
está descrita por el siguiente mapa:
Esta expresión, como se puede ver en su mapa de Karnaugh, ya no se puede simplificar.
Existen también mapas de Karnaugh para expresiones con tres o más variables, algunos de los cuales se muestran al final de esta introducción.
Supongamos ahora que deseamos simplificar un circuito con tres variables de entrada A, B y C cuya salida es la siguiente:
ABC + A·B·C + ABC + + A·B·C
En este caso, tenemos que utilizar el mapa de Karnaugh para tres variables:
El mapa de Karnaugh para la expresión lógica dada se muestra a continuación:
La primera simplificación es evidente. Los minterms ABC y ABC pueden ser agrupados para ser representados por la relación BC (esta agrupación es la que corresponde a los unos que están encerrados dentro del rectángulo rojo). La siguiente simplificación no es tan obvia.
Observe que si conectamos los vértices del mapa alrededor de un cilindro (esto es, si enrollamos el mapa y unimos el lado izquierdo con el lado derecho), se puede llevar a cabo otra simplificación. En efecto, los minterms A·B·C y A·B·C se pueden agrupar dentro de la relación BC (correspondiente a los unos que están encerrados dentro del rectángulo verde).
La salida simplificada será por lo tanto:
BC + B·C
Consideremos un circuito cuya Tabla de Verdad es la siguiente:
Como se muestra en el mapa, los maxtems A+B y A+B se pueden agrupar dentro del "maxterm" B.
Asimismo, los maxterms A+B y A+B se pueden agrupar para formar el "maxterm" A.
Puesto que la salida del circuito sigue siendo el producto de sus maxterms, la salida en este caso será:
Salida = (A)(B) = AB
Este es el resultado que buscábamos.
El mapa de Karnaugh se puede extender para manejar cuatro variables, como se muestra a continuación:
Para intentar simplificar un circuito lógico con cinco variables, podemos recurrir a un mapa de Karnaugh como el siguiente:
Escrito por Archie Tecnology
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