En este entrada describiremos los postulados, propiedades y teoremas más importantes del álgebra de Boole cuyo conocimiento resulta imprescindible, como veremos en sucesivas entradas, a la hora de simplificar expresiones lógicas por métodos algebraicos.
Postulados del álgebra de Boole
Vamos a exponer los postulados más significativos, y, para su mejor comprensión, acompañaremos cada uno de ellos con un circuito eléctrico realizado mediante contactos. En la siguiente Figura aparece una relación de la mayor parte de los postulados que veremos a continuación:
• Postulado 1
La suma lógica de una variable más un 1 lógico equivale a un 1 lógico:
a + 1 = 1
Circuito eléctrico equivalente de los postulados más significativos.
• Postulado 2
La suma lógica de una variable más un 0 lógico equivale al valor de la variable:
a + 0 = a
• Postulado 3
El producto lógico de una variable por un 1 lógico es igual al valor de la variable:
a · l = a
• Postulado 4
El producto lógico de una variable por un 0 lógico es igual a 0:
a · 0 = 0
• Postulado 5
La suma lógica de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable:
a + a = a
• Postulado 6
El producto lógico de dos variables iguales equivale al valor de dicha variable:
a · a = a
• Postulado 7
La suma lógica de una variable más la misma variable negada equivale a un 1 lógico:
• Postulado 8
El producto lógico de una variable por la misma variable negada equivale a un 0 lógico:
• Postulado 9
Si una variable es negada dos veces, ésta no varía. Este postulado es válido para cualquier número par de inversiones:
• Otros postulados
Si se invierten los dos miembros de una igualdad, ésta no sufre ninguna variación:
Propiedades
De la misma forma que en el sistema convencional, en el álgebra de Boole se cumplen las propiedades que describimos a continuación:
• Propiedad conmutativa:
a + b = b + a
a · b = b · a
• Propiedad asociativa:
a + b + e = a + (b + c)
a · b · c = a · (b · c)
• Propiedad distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
a + b · c = (a + b) · (a + c)
Teoremas
Los teoremas que enunciamos seguidamente podrán ser demostrados apoyándonos en los postulados y propiedades descritos anteriormente.
• Teorema 1. Ley de absorción.
a) a + a · b = a
Demostración:
a + a · b = a · ( 1 + b ) = a · 1 = a
b) a · ( a + b) = a
Demostración:
a · (a + b) = a · a + a · b = a + a · b = a
• Teorema 2.
• Teorema 3. Leyes de De Morgan.
Merecen especial mención las leyes de De Morgan por su gran utilidad en los procesos de simplificación. La comprobación de estos teoremas la podrá realizar el(la) lector(a) construyendo la tabla de la verdad:
Escrito por Archie Tecnology
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